کسور واحد و کسور مصری

نمایش کسر واحد به‌صورت مجموع دو کسر واحد دیگر

در حساب عددهای صحیح، عددهای معیار مضرب‌های 10 هستند. یک مسئله ممکن است یافتن یک عدد صحیح بین دو مضرب متوالی عدد 10 باشد. مثلاً داریم:

به همین ترتیب کسرهای واحد به عنوان کسرهای معیار در نظر گرفته می‌شوند. یک مسئله مشابه قرار دادن یک کسر مثلاً ^۵⁄₁₂ بین دو کسر متوالی واحد است. می‌توان دید که چنین می‌شود:

زیرا ^۵⁄₁₂ = ¹⁄₂ − ¹⁄₁₂ و ¹⁄_۳ < ^۵⁄₁₂ < ¹⁄₂. بنابراین می‌توان نوشت:

قراردادن ^۵9⁄₇₆ بین دو کسر واحد دشوارتر است. برای انجام این کار ممکن است در نظر بگیریم:

و ^۵9⁄₇₆ = ¹⁄_۳ + ¹⁄_۳6

با جای‌گذاری 69 بین دو مضرب متوالی 26 و استفاده از مفهوم کسرهای معادل به‌دست می‌آوریم:

این یک ایدهٔ بزرگ در ریاضیات است که یک تناسب عددی غیربدیهی، در میان مقدارهای نوشته‌شدهٔ متفاوت، آن را آشکار می‌کند. بنابراین:

گاهی محاسبهٔ تفاوت بین یک کسر و بزرگ‌ترین کسر معیار کوچک‌تر از آن مهم است:

پس:

ممکن است تطابق بین نمادهای متفاوت ریاضی، برای مثال کسرها، یک ایدهٔ بزرگ در ریاضیات است. آنچه در این ایده نهفته، این مطلب است که یک کسر هم زمان هم یک عدد است و هم یک عمل، عمل قابل شناسایی است، ولی هنوز تکمیل نشده است.

بحث در مورد مسئله‌های مربوط به شکل‌ها یا مسئله‌های تعیین فاصله‌ها می‌تواند به بحث در مورد موضوع نمایش یک کسر واحد به‌صورت مجموع دو کسر واحد دیگر بینجامد.

نمایش کسر واحد به‌صورت مجموع دو کسر واحد دیگر

اگر x و y طول و عرض چنین مستطیلی باشند (x ≥ y)، آنگاه:

از تقسیم این معادله بر xy به‌دست می‌آوریم:

به این ترتیب مسئلهٔ یافتن مستطیل به مسئلهٔ یافتن راه‌های نمایش کسر واحد ¹⁄_n به‌عنوان مجموع دو کسر واحد تبدیل می‌شود. در بسیاری از مسئله‌های دیگر می‌توان از معادلهٔ 1 به‌عنوان یک مدل ریاضی استفاده کرد. برای مثال:

• اگر دو کارگر هنگام کار با هم، بتوانند یک کار معین را در n روز به پایان برسانند، ممکن است یکی از آن‌ها بخواهد بداند تعداد روزهایی که برای تکمیل این کار به‌صورت تنفکا طول می‌کشد، چقدر است؟
• مسئلهٔ دیگری را می‌توان به‌این‌صورت فرمول‌بندی کرد: اگر دو وسیلهٔ نقلیه با سرعت‌های متفاوت اما ثابت به سمت یکدیگر حرکت کنند (یک حرکت یکنواخت) و در n ساعت به هم برسند، تعداد ساعت‌هایی را برای هر یک از آن‌ها طول می‌کشد تا کل مسافت را طی کنند، پیدا کنید.

تبدیل یک توصیف شفاهی به یک معادله، راهی کاملاً آشنا برای سیستمی از آن‌ها، مهارت اساسی در مدل‌سازی ریاضی است. یعنی معادلهٔ 1 را می‌توان به‌عنوان یک مدل ریاضی از موقعیت‌های متفاوت مشخص، از جمله هندسه، کار و مسائل مساحت در نظر گرفت. برای‌این‌که می‌توانیم به‌این شکل نوشت:

سپس با مخرج مشترک گرفتن از سمت راست تساوی خواهیم داشت:

با توجه به این‌که x > n، (همان‌طور که از مسئلهٔ فاصله به دست می‌آید) به تساوی زیر منجر می‌شود:

از آنجا x و y با شرط x ≥ y، برابر طول و عرض مستطیلی با مساحت n برابر نصف محیط آن هستند، تعداد جواب‌های معادلهٔ 1 به‌ازای مقدار n و مطابق بر تعداد مقسوم‌علیه‌های n در می‌آید. به‌این‌ترتیب:

آخرین ابراز برای مشاهدات به‌دست می‌آید که کسر ¹⁄_n را همیشه می‌توان به‌صورت مجموع دو کسر واحد نوشت:

بیان‌شده به‌صورت مجموع دو کسر واحد با تفاوت مخرج‌ها. برای مثال:

به‌طوری که در این کسر ¹⁄_(n+1) بزرگ‌ترین کسر واحد کوچک‌تر از ¹⁄_n است و بنابراین اختلاف ¹⁄_n − ¹⁄_(n+1) = ¹⁄_(n(n+1)) را به‌عنوان مجموع دو کسر واحد به دست می‌دهد. علاوه بر این، برای n ≥ 2، نامساوی x ≤ n نشان می‌دهد که محدوده‌ی جواب‌های y و x به‌شرح زیر است:

ناوبری فوق را می‌توان به‌صورت هندسی تفسیر کرد. در حالت x = y = 2n مربعی با کوچک‌ترین محیط و حالت‌های x = n(n+1) و y = n+1 مستطیلی با بزرگ‌ترین محیط بین تمام مستطیل‌های موردبحث را نتیجه می‌دهد.

این نابرابری برای نابرابری n² ≤ x ≤ n² نشان می‌دهد که به‌ازای n ≥ 2، معادله‌ی x² = n² همواره جواب دارد. از آنجا که n و مقسوم‌علیه‌های مثبت هستند، باید همه‌ی مقسوم‌علیه‌های n² را در رابطه با معادله و حالت‌های n(n+1) در نظر بگیریم. دقت داشته باشید که اگر m بزرگ‌تر از n و کوچک‌تر از n² باشد، m و n هم‌زمان می‌توانند مخرج کسر بزرگ‌ترین مقسوم‌علیه n² باشند. بنابراین در n² = m × n بخش‌پذیر است و نابرابری n² ≤ m × n ≤ n(n+1) برقرار است. برعکس، این شکل تغییر می‌دهد؛ جواب‌های x و y که در دامنه‌ی n² ≤ x ≤ n(n+1) و n+1 ≤ y ≤ n قرار دارند، با حاصل‌ضرب n برابر n² است.

مثال: برای n = ۳ داریم: x = 12 و y = 4. برای (۳+1)(12+1) = ۵2 و 1/4 + 1/12 = 1/۳.

پس تعداد حالت‌هایی که کسر ¹⁄_n را می‌توان به مجموع دو کسر واحد نوشت برابر است با:

در واقع 1/۳ = 1/4 + 1/12.

حالت‌های نوشتن ¹⁄_n به‌صورت مجموع دو کسر واحد هستند.